Vraag 1: witte dwergen

Witte dwergen koelen af omdat ze hun energie als zwarte lichaamsstraler verliezen. De helderheid (L) is dan het volume (V) × het aantal deeltjes per volume-eenheid (n) × de konstante van Bolzmann (k) × -dT/dt. Op elk moment geldt natuurlijk ook de wet van Stefan-Bolzmann zodat we een differentiaalvergelijking van T en t kunnen opstellen. Neem verder aan dat een witte dwerg geheel uit koolstof bestaat en dat een koolstofatoom opgebouwd is uit een kern (met atoomgewicht 12) en 6 electronen.

a). Laat zien dat (op factor &pi na) voor een witte dwerg zoals hierboven beschreven geldt:

met  m_H =  1.67 10^-27 kg

b). De oudste witte dwergen onstonden zo'n 10¹⁰ jaar geleden met een begin temperatuur van 10⁹ K. Bereken de temperatuur die zo'n witte dwerg met een massa van 1.4 M_zon , een straal van 7x10⁶ m en een leeftijd van 10¹⁰ jaar nu heeft. 
Tip: Integreer beide helften van de vergelijking, integreer de linker helft naar de temperatuur en de rechter helft naar de tijd, en vul de randparameters van de tijd (t₀ en t₁) en van de temperatuur (T(t₀) en T(t₁)) in. Neem voor het gemak t₀=0, dan komt t₁ overeen met 10¹⁰ jaar. T(t₀) weet je ook, dus kun je T(t₁), de temperatuur die de witte dwerg nu heeft, uitrekenen.

c). Bij welke golflengte zendt deze witte dwerg op dit moment de meeste straling uit?

 
Vraag 2: planetaire nevels

a). Een bepaalde planetaire nevel ontstaat doordat in totaal een massa van 0.1 M_zon met een constante expansiesnelheid van 20 km/s de ruimte in wordt gestoten.
Vraag: Bereken de kinetische energie die met de formatie van deze planetaire nevel gepaard gaat.

b). Bereken de kinetische energie die gepaard gaat met een supernova explosie, waarbij in totaal 1 M_zon aan materiaal met een constante snelheid van 4x10³ km/s wordt uitgestoten.

c). Voor de zon geldt L_zon = 3.9 10²⁶ W.
Vraag: bereken hoe lang de zon zal moeten branden om dezelfde hoeveelheid energie uit te stralen als je bij vraag b) berekend hebt.

d). Stel nu voor het gemak dat bij deze supernova explosie in totaal evenveel energie in straling vrijkomt als in kinetische energie. Wanneer de supernova zijn maximale helderheid heeft bereikt zal deze in ongeveer 3 dagen de helft van deze totale stralingenergie uitstralen.
Vraag: Bereken de gemiddelde helderheid van deze supernova gedurende deze drie dagen in vergelijking met de helderheid van de zon, en ook met een heel sterrenstelsel  (L_ss = 10¹¹ L_zon).

Vraag 3: pulsars

De Krabnevel (zie plaatje op de volgende bladzijde) is buiten ons zonnestelsel een van de meest bestudeerde objecten aan de hemel. De nevel is het overblijfsel van een supernova explosie. Deze explosie werd waargenomen in het jaar 1054 na Christus. Chinese astronomen uit die tijd praatten over het plotseling verschijnen van een "gast-ster" die wekenlang zichtbaar was (zelfs overdag!) en die verreweg helderder was dan de helderste ster aan de hemel. De benaming supernova is dan ook niet zo vreemd als je weet dat "nova" vrij vertaald "nieuwe ster" betekend.

Tegenwoordig weten we dat een supernova (van type II) een laatste klap is in het actieve leven van een zware ster. Zoals je als het goed is in de vorige vraag gezien hebt komt bij deze klap zo'n grote hoeveelheid energie vrij dat voor een korte tijd deze ster bijna evenveel energie uitstraalt als een een heel sterrenstelsel! Wat overblijft is een neutronenster, of bij de zwaarste sterren een zwart gat. Een neutronenster is a.h.w. een bol van gedegenereerd neutronengas met een diameter van zo'n 12 km. Op de buitenkant bevindt zich een laag van geladen deeltjes. De neutronenster heeft een sterk magneetveld en draait snel rond zijn as. Geladen deeltjes die zich langs de magneetlijnen verplaatsen verliezen synchrotron straling. Langs de as van een neutronenster worden daardoor bundels straling de ruimte in gezonden. Doordat de neutronenster roteert krijg je een soort "vuurtoren" effect, en mocht een bundel elke keer dat de ster rond draait de aarde raken dan nemen we een pulsar waar. De aankomst van de pulsen is zo constant dat pulsars tot de beste tijdwaarnemers behoren die er zijn (zeker zo nauwkeurig als atoomklokken!).

Hier beneden zie je twee plaatjes van de Krabnevel. Het eerste is een optische plaatje waarin je de materie ziet die in de supernova explosie de ruimte in is geschoten. Het tweede plaatje is een recent plaatje van de Chandra satelliet. Deze X-ray satelliet is een nieuwe ruimtetelescoop die waarneemt in het gebied van hoog energetische straling. Wat je ziet is het binnengebied van de Krabnevel (grootte = 40% van het optische plaatje). In het centrum bevindt zich een pulsar. In dit plaatje zie je duidelijk de synchrotron straling die de magneetvelden van de roterende pulsar volgt.

Vragen:

a). De Chinezen zagen het onstaan van de Krabnevel in 1054. Als je weet dat de Krabnevel 6000 lichtjaar bij ons vandaan staat, hoeveel maal ouder dan wij hem vandaag de dag zien zal de Krabnevel dan in werkelijkheid zijn?

b). Voor de afname van de periode van een pulsar geldt:

Voor de pulsar in de Krabnevel geldt L = 1 x 10³¹ W; P = 33msec; M = 1.4 M_zon en R = 1.1 x 10⁴m.

Vraag: Bereken de afname van de periode (dP/dt) van de Krabnevel-pulsar.

c). Hoeveel jaar zal het duren voordat de periode van deze pulsar is verdubbeld?
(Tip: zet in de bovenstaande vergelijking de termen die met P te maken hebben aan de linker kant en de termen die met de tijd te maken hebben aan de rechter kant van de vergelijking en integreer vervolgens beide kanten. Vul vervolgens de randparameters in en los de opgave op zoals je dat ook in opgave 1b gedaan hebt.)