Inleiding Sterrenkunde 1A

Vraagstukken werkcollege 1



Vraag 1: Een beetje historie...

In deze opgave gaan we de stralen bepalen van de Aarde, de maan en de zon. We volgen hierbij de denkwijzen en berekeningen die in de oudheid ook gebruikt zijn. Reeds eeuwen voor Christus was bekend dat de sterrenhemel afhankelijk was van plaats van beschouwing. De heldere ster Canopus bijvoorbeeld is niet zichtbaar vanuit noord- maar wel vanuit zuid-Europa. Uiteraard had men in de gaten dat de sterrenhemel met de verschillende sterrenbeelden om de aarde draaide, om een vast punt in de richting van het noorden. Men kende in die tijd vijf planeten die men ook wel dwaalsterren noemde. Pythagoras (500 vC) leerde al dat de aarde een bol was, echter meer uit mystieke dan uit fysische overwegingen. Aristoteles (350 vC) kwam met duidelijke argumenten, zoals achter de horizon wegzakkende schepen en de bovengenoemde zichtbaarheid van sterren. Ook begreep hij dat een maansverduistering het gevolg was van het vallen van de schaduw van de aarde op de (volle) maan, en hij merkte terecht op dat deze schaduw rond was!

Omdat de maan ongeveer drie keer kleiner is dan de schaduw van de aarde tijdens een maansverduistering, concludeerde Aristarchus van Samos vervolgens dat de maan ongeveer drie keer kleiner (in diameter) dan de aarde moest zijn. Hij nam bij zijn berekening aan dat de zonnestralen de aarde parallel bereiken. Hij merkte ook op dat de zon beduidend verder van de aarde moest staan dan de maan. Men wist al dat de schijngestalten van de maan het gevolg waren van de belichting door de zon. Aristarchus maakte een vrij nauwkeurige bepaling van de hoek maan-aarde-zon, precies op het tijdstip van (exact) halve maan. Hij mat die hoek op als 87 graden en bepaalde op basis van die meting de afstand tot de zon in verhouding tot de afstand tot de maan. Het was ook duidelijk dat de zonneschijf die aan de hemel te zien is ongeveer even groot is als de schijf die de maan aan de hemel heeft.

De eerste die een serieuze afschatting van de grootte van de aarde maakte was de Griek Eratosthenes (200 vC), hoofd van de fameuze bibliotheek van Alexandrie in Egypte. Eratosthenes wist dat op de langste dag van het jaar, het zomersolsticium, de zon op zijn hoogste punt loodrecht boven een put bij Syene, het tegenwoordige Assoean in zuid-Egypte, stond. M.a.w. het zonlicht bereikte op die dag de bodem van de put; er was dus geen schaduw. Hij wist ook dat op diezelfde langste dag van het jaar in Alexandrie de zon op zijn hoogste punt nog steeds zeven graden uit het zenith stond (zenit = hoogste punt aan de hemel voor een waarnemer, ofwel het punt recht boven je hoofd). Gewapend met deze kennis liet hij vervolgens een nauwkeurige meting doen van de afstand tussen Alexandrie en de put bij Syene. Deze bleek 5000 stadien te zijn (ongeveer 800 km). Met behulp van simpele meetkunde kon hij de omtrek van de (aangenomen) bolvormige aarde berekenen: zijn resultaat was verrassend en bewonderenswaardig nauwkeurig.


 
  <\p>

Vragen:

Bepaal met behulp van de bovenstaande gegevens achtereenvolgens:

a). De straal van de Aarde;

b). De straal van de maan;

c). De straal van de zon.

d). Vergelijk je antwoorden met de werkelijke waarden zoals we die nu weten. Hoe nauwkeurig zijn die eerste berekeningen geweest?
 


Vraag 2: Schijngestalten Venus

Venus is de God van de liefde en de schoonheid. De planeet is waarschijnlijk zo genoemd omdat ze na de maan het helderste object aan de sterrenhemel is. Venus is een binnenplaneet en toont dan ook, net zoals de maan, verschillende schijngestalten, wanneer wij er met een telescoop vanop aarde naar kijken. Galileo die in  1610 als eerste een telescoop gebruikte, zag toen reeds deze schijngestalten. Dit was voor hem een bevestiging van het standpunt van Copernicus dat de zon het middelpunt vormt van ons zonnestelsel (iets wat in die tijd niet in goede aarde viel bij de kerk, die de aarde als het middelpunt van het universum beschouwde).
Soms zien we Venus vroeg in de ochtend (ochtendster), soms laat op de avond (avondster). Hoe dit komt, en wat zijn schijngestalten dan zijn, gaan we nu bekijken:

De siderische omlooptijd van Venus is ongeveer 225 dagen. Net zoals de maan heeft Venus schijngestalten, van "nieuw" naar "wassend" naar "vol" naar "afnemend". Je weet dat op aarde de zon in het oosten opkomt en in het westen weer ondergaat.

Vragen:

a). Leg duidelijk uit (met behulp van een schets) of Venus als morgenster wassend of afnemend is. 

b). Als je weet dat de grootste elongatiehoek die Venus maakt 47 graden is, bereken dan de afstand tussen Venus en de zon (uitgedrukt in Astronomische Eenheden).



Vraag 3: Afstand tot Mars

Het bepalen van de afstanden tussen de buitenplaneten (dat zijn planeten die verder van de zon af liggen dan de aarde) en de zon is wat lastiger dan in het geval van Venus. We bezien Mars. Tijdens een oppositie liggen zon, aarde en Mars precies op een lijn. Tussen twee opvolgende opposities liggen 2.14 aardse jaren. Benader de Marsbaan voor het gemak even met een cirkelbaan en bereken dan de lengte van het Marsjaar. Laat vervolgens zien dat als we Mars twee keer waarnemen, eerst tijdens een oppositie en vervolgens een Marsjaar later, we de afstand tot Mars kunnen berekenen. Maak een schets!


     

Vraag 4: Tijdsrekening

Op 1 november van dit jaar zal de zon in Greenwich (Engeland) om 11:43:35.61 universele tijd zijn hoogste punt bereiken. De zon heeft dan een declinatie van -14o18'01.2" en een rechte klimming van 14h24m02.47s. In Greenwich ligt de zgn. 0-meridiaan, dat is de meridiaan die ligt op een lengte van 0 graden.
De positie van Groningen is +53o07'42" N.B., 6o26'36" O.L. Bovendien ligt Groningen 1 tijdzone bij Greenwich vandaan (d.w.z. onze klokken lopen een uur voor in vergelijking met klokken in Engeland).

a). Bereken welke tijd ons horloge aangeeft op het moment dat de zon hier in Groningen zijn hoogste punt bereikt (we noemen dat "transit") op 1 november.

b). Hoe hoog staat de zon op dat moment boven de horizon?

c). Waarom is het op ons horloge niet precies 12 uur wanneer de zon zijn hoogste punt bereikt? Geef twee redenen hiervoor (en je horloge loopt NIET verkeerd!)

d). Op 22 juni van dit jaar had de zon een declinatie van +23o26'19.6". Hoe hoog boven de horizon stond de zon toen tijdens transit hier in Groningen?



Vraag 5: Parallax van de maan


Bij gelijktijdige waarneming vanuit verschillende lokaties "verspringt" de maan. In 1752 deed men een goed voorbereide waarneming, vanuit Berlijn en Zuid-Afrika. In Berlijn stond de maan 41o.2 ten zuiden van het zenith, in Kaapstad 45o.0 ten noorden. Maak een berekening van de afstand van de maan (gebruik makend van de diameter van de aarde - 12800km en van het feit dat Kaapstad 85o ten zuiden van Berlijn ligt). Maak schetsen van de situatie !!


Vraag 6: Massamiddelpunt aarde-zon systeem


Twee massa's draaien om een gemeenschappelijk massa middelpunt ("center-of-mass"), zoals aangegeven in de tekening. Ga er bij deze vraag even van uit dat de massa's beiden een cirkelbaan om dit massa middelpunt beschrijven.


a). Als je weet dat voor de centripetale kracht die op massa 1 wordt uitgeoefend geldt:

laat dan zien dat voor dit systeem van twee massa's geldt:

b). Als je weet dat: massa zon = 1.99 x 1030 kg
                               straal zon = 6.96 x 105 km
                               massa aarde = 5.98 x 1024 kg
                               straal aarde = 6378 km
                               afstand zon - aarde = 1 A.E. (Astronomische Eenheid) = 1.496 x 1011 m     

Waar ligt dan het massamiddelpunt van het aarde-zon systeem?


c). De centripetale kracht op massa 1 wordt opgeheven door de zwaartekracht op deze massa:

     met a = r1+r2 en F de zwaartekracht op massa 1

Vraag: Leid Newton's vorm van de derde wet van Kepler af, waarin voor de periode P van dit systeem geldt:



Vraag 7: Wetten van Kepler

Mercurius is de planeet die het dichtst bij de zon staat. Deze planeet vertoont veel gelijkenissen met de maan (klein, geen atmosfeer, vol met kraters). De zon is een enorm object, dat door zijn grote zwaartekrachtveld veel "gruis" zal aantrekken. Het is dan ook niet gek dat het oppervlak van Mercurius veel te lijden heeft van meteoriet inslagen. Zeker als je ook nog weet dat de planeet geen atmosfeer heeft die een gedeelte van de inslagen kan afweren.
De baan van Mercurius is erg excentrisch (ellipsvormig). In het perihelium is de planeet slechts 46 miljoen km van de zon verwijderd maar in het aphelium bedraagt de afstand 70 miljoen km. De zon staat in het brandpunt ("focus") van deze ellipsvormige baan (1e wet van Kepler). De gemiddelde afstand tot de zon ("halflange as" of " semimajor axis") is 57.9 miljoen km ofwel 0.387 A.U.

Voor de snelheid van een object met massa m1 in een ellipsvormige baan rond m2 geldt:

met r de afstand tot het object en a de halflange as van de ellipsbaan. G = 6.67 10-11 N m2/kg2 (de zwaartekrachtconstante).

Vragen:

a). Bereken de snelheid die Mercurius heeft in zowel het perhelium als in het aphelium.

b). Bereken in beide punten het product van de snelheid v en de afstand tot de zon r die Mercurius heeft (vr) . Verklaar je resultaat in het licht van de 2e wet van Kepler.

De  3e wet van Kepler luidt:

P2 = ka3

met P de siderische periode van een planeet en a de halflange as. k is een constante die gelijk is voor elke planeet die rond de zon draait.

c). Bereken met behulp van de klassieke 3e wet  van Kepler de periode van Mercurius (gebruik niet de wet van Newton) .

De Newton's vorm van de 3e wet van Kepler luidt:
 

d). Leg uit waarom in het geval van ons zonnestelsel deze wet van Newton zich vereenvoudigt tot de 3e wet van Kepler.