Gravitational Lensing1 2 a b

De enige manier waarop we donkere materie waar kunnen nemen is door de interactie met andere materie of zelfs licht via de zwaartekracht op de een of andere manier in kaart te brengen. Gravitatie lenzen zijn hier zeer goed voor geschikt, maar voordat ik daar op in ga eerst maar eens een kort overzicht van wat het nou eigenlijk zijn.

Een gravitatie lens ontstaat als de zwaartekracht van een massa sterk genoeg is om licht zichtbaar af te buigen. Dit kan gebeuren door objecten lopend van planeten tot clusters van sterrenstelsels. De gravitatielens werkt echter niet zoals een glazen lens die enkel de voorwerpen vergroot of verkleint; het belangrijkste kenmerk is dat hij het licht dus afbuigt (en hierbij meestal wel een vergroting of verkleining van het beeld veroorzaakt, overigens ook vaak een vervorming, maar daarover later meer). Deze hoek van afbuiging hangt vanzelfsprekend samen met de massa van de lens; u voelt al aan dat hoe groter deze lensmassa is, hoe meer de lichtstraal wordt afgebogen.

Een ander opvallend verschijnsel is dat er vaak van 1 voorwerp meerdere beelden worden gevormd. Dit kan onder andere gebruikt worden om de Hubble constante H0 te bepalen. Ook is het mogelijk dat een precies achter het midden van de lens (vanuit ons opzicht) gelegen object zich als een zogenaamde Einsteinring rond de lens laat afbeelden, maar dit is een vrij zeldzaam fenomeen aangezien de boel dus vrij exact moet zijn uitgelijnd. Deze twee effecten zijn kenmerken van strong lensing. De lens moet hiervoor veel massa hebben of de bron moet relatief dichtbij staan.

Animatie die de soorten vervorming door een lens illustreert
Figuur 12

Bij weak lensing treden deze effecten niet op, de lens is hiervoor niet sterk genoeg. Deze lenzen hebben echter een ander nut: ze verbuigen de beelden van de ver af gelegen objecten. Deze achterliggende voorwerpen worden uitgerekt tot arcs (bogen); dit verschijnsel heeft te maken met de zogenaamde shear, een parameter die de uitrekking beschrijft. Dit wordt, zoals ik later uit zal leggen, gebruikt bij de bepaling van de massaverdeling van de lens.
In figuur 1 ziet u een leuke animatie die illustreert wat we zouden zien als we 'door' een grote bewegende lens (dit komt helaas niet zo veel in de natuur voor) naar al die blauwe achtergrond objecten zouden kijken. Hier ziet u dat er ook bijna Einsteinringen worden gevormd, maar de niet uniforme massaverdeling verhindert dit.

Een laatste interessante lenswerking is die van de micro-lenses. Dit zijn de kleinere voorwerpen zoals planeten in de orde van grootte van jupiter of bruine dwergen. Als deze namelijk voor hun ster langs draaien zorgen ze door hun lenswerking voor een korte verandering in de intesiteit van de ster. Hiermee zijn deze zogenaamde MACHOs9 (MAssive Compact Halo Objects) dus op te sporen. Omdat deze objecten relatief gezien vrijwel geen straling uitzenden horen ze ook bij de donkere materie en dus is dit in feite al de eerste toepassing van gravitatie lenzen op het zoeken naar donkere materie. We zullen echter zien dat de lenzen betere mogelijkheden bieden.

Lensmodela b

Laten we eens iets verder in gaan op de verbanden tussen de afbuiging en de massa van een lens. Dit doen we aan de hand van een lensmodel dat deze verhoudingen kwantitatief weergeeft en dat is afgeleid van de algemene relativiteits theorie. Ik zal in grote lijnen de stappen beschrijven die leiden tot de vergelijkingen, maar veel zult u maar gewoon aan moeten nemen, omdat een begrip van de algemene relativiteit nodig is om de echte afleidingen te doen.

Laten we beginnen met de formule waarmee Einstein in 1919 met zijn zonne experiment de relativiteits theorie voor de tweede keer bevestigde; de afbuigingshoek van het licht veroorzaakt door een puntmassa lens (ook wel Schwarzschild lens genoemd) of door bolsymmetrische massadistributie lenzen aangezien die zijn te reduceren tot puntmassa's:

(1)\alpha=\frac{4GM}{c^2\xi}

In figuur 2 een simpele schets van de situatie (de theta hoeken en de D-afstanden komen later pas aan bod, not to worry, gewoon nog ff negeren en later als je ze tegenkomt terug kijken (bijvoorbeeld voor de afleiding van de lens equation)):

Een schematische weergave van de situatie in vergelijking (1)
Figuur 2

Hier is ξ de impactparameter; de afstand tussen de massa en de plek in het lensvlak (een vlak door de massa loodrecht op de richting van waar we kijken) waar het beeld zich bevindt. Deze vergelijking geldt alleen als ξ>>RS. Zoals gezegd is deze formule af te leiden van de algemene relativiteit (dit zult u wederom maar even aan moeten nemen). Je ziet hier dus in ieder geval duidelijk het verband met de massa van de hoek van afbuiging; in het geval dat de impact parameter groot genoeg is is dit te benaderen als een lineair verband. Leuk detail hier is dat eerdere berekeningen, dat wil zeggen met Newtoniaanse mechanica, bijna dezelfde formule opleverden, namelijk deze vergelijking (1) op een factor twee na. Deze extra factor heeft zijn oorsprong in de buiging van ruimte, zoals beschreven door de algemene relativiteit.

Met dit model alleen kunnen we jammer genoeg niet veel. Om verder te komen maken we eerst een aanname en wel die dat de lens vlak is, dat wil zeggen dat de dikte verwaarloosbaar is ten opzichte van de angular size (de grootte van het object aan de hemel). We hebben dan te maken met een object met een massa-oppervlaktedichtheid Σ(ξ') waar ξ' een positie-coördinaat in het lensvlak is (ξ zonder accent is nog steeds de positie van het beeld, de impact parameter). Uit de relativiteit volgt dan weer een formule voor de afbuigings hoek die nu van deze massa verdeling afhankelijk is:

(2)\vec{\alpha} (\vec{\xi}) = \int \frac{4 G \Sigma(\vec{\xi'})}{c^2}\frac{\vec{\xi}-\vec{\xi'}}{\left|\vec{\xi}-\vec{\xi'}\right|^2} d\xi_1' d\xi_2'

Dit kunnen we transformeren naar

(3)\vec{\alpha}(\vec{\theta})=D_l\int\frac{4G\Sigma(\vec{\theta}')}{c^2}\frac{\vec{\theta}-\vec{\theta}'}{\left|\vec{\theta}-\vec{\theta}'\right|^2}d^2\theta'

waar nu θ en θ' hoekposities in het hemelvlak zijn. Figuur 3 geeft nog eens weer wat de elementen in deze formule betekenen: wat we in feite doen is integreren over het blauwe deel, de massaverdeling. Dit is natuurlijk in het echt niet zo'n mooi afgebakend gebied; het gaat geleidelijk over van massa naar vacuüm, maar het idee lijkt me duidelijk. Het verschil van de twee vectoren in de formule is afkomstig van het feit dat het gaat om de afstand tussen het beeld en de massa-dichtheids elementjes. De afhankelijkheid van de dichtheidsverdeling lijkt me nu dus wel duidelijk. Dit model geeft ons al een veel beter beeld van de werkelijkheid omdat je nu al elk element van de massa verdeling apart meerekent en niet meer uitgaat van een bolsymmetrische lens.

Een schematische weergave van de situatie in vergelijking (3)
Figuur 3

Zoals eerder gezegd treedt er bij deze uitgebreide lens echter niet alleen afbuiging van de lichtbundel op maar ook vervorming. Om dit te beschrijven (hier ga ik verder op in bij Massabepaling) hebben we nog een laatste afleiding nodig die eigenlijk sowieso de boel een stuk versimpelt. We voeren hiervoor namelijk de zogenaamde 2D Newtoniaanse potentiaal in, wat in feite gewoon een mooi woord voor een 2-dimensionale (omdat we telkens alles berekenen in het lensvlak) gravitationele potentiaal is. We kunnen dit doen doordat er volgens de Poisson vergelijking een verband bestaat tussen de potentiaal φ en de dichtheid ρ:

(4)\nabla^2\varphi=4\pi G\rho

Deze 3D elementen worden tot 2 dimensies gereduceerd door te integreren langs de zichtlijn; we hebben dan enkel nog afhankelijkheid van de componenten in het lensvlak. Hierdoor krijgen we uiteindelijk voor de 2D Newtoniaanse potentiaal Ψ de volgende vergelijking:

(5)\Psi(\vec{\theta})=D_l\int\frac{4G\Sigma(\vec{\theta}')}{c^2}\ln{\left|\vec{\theta}-\vec{\theta}'\right|}d^2\theta'

Dit vullen we ten slotte bij vergelijking (3) weer in wat leidt tot de meest algemene lens vergelijking:

(6)\vec{\alpha}(\vec{\theta})=\vec{\nabla}_\theta \Psi(\vec{\theta})

Dus om het in een korte zin samen te vatten: de afbuiging is afhankelijk van de lokale gravitatie potentiaal. Maar ja, misschien voelt u hem nu al aankomen: dit is nog niet het hele verhaal. We hebben meestal niet te maken met een puntbron (van licht) die enkel invloed ondervindt van de potentiaal op 1 bepaald punt. Deze zijn er bij benadering wel en als het je daar om te doen is ben je nu wel zo'n beetje klaar. Wil je echter massaverdelingen gaan berekenen dan moeten we nog een stapje verder door te kijken naar vervorming en/of amplificatie van de lichtbundels door de lens. Alsof de wiskunde nog niet pittig genoeg was wordt het hier pas echt fijn met vervormings matrices en Fourier transformaties. Eerst dus maar even een korte adem pauze tijdens de uitleg van de relatief eenvoudige x-ray massabepaling.

verder naar Massabepaling of terug naar Introductie