e ~ pi

Heb je je altijd al afgevraagt wat het verband tussen pi en e is? Op je rekenmachine e*pi, pi/e, e/pi, e^pi geprobeert om te kijken of er een mooi getal uitkomt? niet gelukt zeker? :) Nou het kan wel, en maar een heel klein beetje ingewikkelder dan deze probeersels, alleen het bewijs is iets ingewikkelder, maar dat ga ik hier proberen te geven zonder erg ingewikkelde dingen te gebruiken, iedereen met een beetje middelbare schoolkennis zou het moeten kunnen snappen (hoop ik...)

Taylorreeksen

Dit klinkt misschien ingewikkeld maar is lang niet zo ingewikkeld als het lijkt. Het gaat erom dat je elke functie ook als soort oneindige polynoom (een taylorreeks) kan schrijven. (Dit is niet helemaal waar, maar genoeg om te weten :)) Dus voor elke f:

f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴ + ... + a_nxⁿ + ...

Dit is voor de meeste functies niet echt makkelijk uit te rekenen, maar voor functies die voor ons interesant zijn wel. De functies die iedereen natuurlijk meteen asocieerd met e en pi zijn e^x en cos(x) en sin(x), en daarvan heel makkelijk om een taylorreek op te stellen, wat we hier gaan doen.

We beginnen met e^x. Dé eigenschap van f(x)=e^x is dat de afgeleide hetzelfde is, f'(x)=e^x. Dat gaan we gebruiken voor deze afleiding.
f(x) = e^x = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴ + ...
f(0) = e⁰ = 1 = a₀ + a₁0 + a₂0² + a₃0³ + a₄0⁴ + ... = a₀ dus a₀ = 1
f'(x) = e^x=a₁ + 2*a₂x + 3*a₃x² + 4*a₄x³ + ... want (xⁿ)' = nx^n-1
f'(0) = e⁰ = 1 = a₁ + 2*a₂0 + 3*a₃0³ + 4*a₄0³ + ... = a₁ dus a₁ = 1
f"(x) = e^x = 2*a₂ + 2*3*a₃x + 3*4*a₄x² + ...
f"(0) = e⁰ = 1 = 2*a₂ + 2*3*a₃*0 + 3*4*a₄*0² + ... = 2*a₂ Dus a₂ = 1/2
f"'(x) = e^x = 2*3*a₃ + 2*3*4*a₄x + ...
f"'(0) = e⁰ = 1 = 2*3*a₃ + 2*3*4*a₄0 + ... = (2*3)a₃ Dus a₃ = 1/(2*3)
f""(x) = e^x = 2*3*4*a₄ + ...
f""(0) = e⁰ = 1 = 2*3*4*a₄ + ... = 2*3*4*a₄ Dus a₄ = 1/(2*3*4)
Dus:
a₀ = 1/1, a₁ = 1/1, a₂ = 1*2, a₃ = 1/(1*2*3), a₄ = 1/(1*2*3*4)
Dit kan korter dmv n! = 1*2*3*...*n, 0! = 1 (spreek uit n-faculteit), dan krijgen we a_n = 1/n!
e^x = 1 + x + (1/2!)x² + (1/3!)x³ + (1/4!)x⁴ + ... + (1/n!)xⁿ + ...

Dit was even werk, maar als je het principe snapt is het iet zo ingewikkeld. Dit kunnen we ook doen voor sin(x) en cos(x). sin'(x) = cos(x), cos'(x) = -sin(x), sin(0)=0, cos(0)=1, dit is alles wat we hoeven te weten om de taylorreeksen te maken.
f(x) = sin(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴ + ...
f(0) = sin(0) = 0 = a₀ + a₁0 + a₂0² + a₃0³ + a₄0⁴ + ... = a₀ Dus a₀ = 0
f'(x) = cos(x) = a₁ + 2*a₂x + 3*a₃x² + 4*a₄x³ + ... (xⁿ)' = nx^n-1
f'(0) = cos(0) = 1 = a₁ + 2*a₂0 + 3*a₃0³ + 4*a₄0³ + ... = a₁ Dus a₁ = 1
f"(x) = -sin(x) = 2*a₂ + 2*3*a₃x + 3*4*a₄x² + ...
f"(0) = -sin(0) = 1 = 2*a₂ + 2*3*a₃*0 + 3*4*a₄*0² + ... = 2*a₂ Dus a₂ = 0
f"'(x) = -cos(x) = 2*3*a₃ + 2*3*4*a₄x + ...
f"'(0) = -cos(0) = -1 = 2*3*a₃ + 2*3*4*a₄0 + ... = (2*3)a₃ Dus a₃ = -1/(2*3)
f""(x) = sin(x) = 2*3*4*a₄ + ...
f""(0) = sin(0) = 0 = 2*3*4*a₄ + ... = 2*3*4*a₄ Dus a₄ = 0 Hier kunnen we op ongeveer dezelfde manier afkorten als hierboven, waaruit volgt dat a_n = 0 als n = even, en a_n = (-1)^(n-1)/2/n! als n = oneven.
sin(x) = x - (1/3!)x³ + (1/5!)x⁵ - (1/7!)x⁷ + ...

Dit kan je ook voor de cosinus doen, maar dat mag je zelf proberen, ik geef hier de uitkomst wel:
cos(x) = 1 + (1/2!)x² + (1/4!)x⁴ + (1/6!)x⁶ + ...

We hebben nu dus:
e^x = 1 + x + (1/2!)x² + (1/3!)x³ + (1/4!)x⁴ + ...
sin(x) = x - (1/3!)x³ + (1/5!)x⁵ - (1/7!)x⁷ + ...
cos(x) = 1 - (1/2!)x² + (1/4!)x⁴ - (1/6!)x⁶ + ... Zoals je ziet lijken deze functies nu al best veel op elkaar, maar we gaan ze nog meer op elkaar laten lijken, namelijk met complexe getallen.

i

We voeren nu het getal i in. Altijd al irritant gevonden dat er geen wortel is van -1? Nou, hier heb je er een i² = -1. Wat i percies is doet er niet zoveel toe, maar dat i² = -1 gaan we nu gebruiken om wat minnetjes te krijgen. :) We gaan namelijk in e^x ix invullen, dus krijgen we:
e^ix = 1 + ix + (1/2!)(ix)² + (1/3!)(ix)³ + (1/4!)(ix)⁴ + ... Om dit wat makkelijker te schrijven moeten we even dit tabelletje weten (heel logisch, maar wel vreemd als je geen complexe getallen kent)
i = i
i² = -1
i³ = i² * 1 = -1 * i = -i
i⁴ = i² * i² = (-1) * (-1) = 1
i⁵ = i⁴ * i = 1 * i = i
Als we dit gaan invullen krijg je:
e^ix = 1 + ix - (1/2!)x² - i(1/3!)x³ + (1/4!)x⁴ + ...
Dit ziet er al heel mooi uit, probeer maar eens cos(x) + i * sin(x) te schrijven: cos(x) + i * sin(x) = 1 + ix - (1/2!)x² - i(1/3!)x³ + (1/4!)x⁴ + ... = e^ix !!!!!!
En daar ging het nou even allemaal om!
e^ix = cos(x) + i * sin(x) !
En nu is het echt heel simpel, vul maar eens pi in :)
e^i*pi = cos(pi) + i * sin(pi) = -1 + i * 0

e^i*pi = -1 !